tüm pozitif tam sayıları toplayınca negatif sonuç çıkması

kanımca en ilginç çıkmazlardan biridir.
başlıkta da görüldüğü gibi sonsuza kadar olan bütün tam sayıları toplayınca sonucumuz negatif çıkıyor hem de kesirli bir sayı.

şimdi gelin bunu ispatlayalım:

bunun için bize birkaç farklı sayı gerekecek öncelikle bunları tanıyalım;

a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +... bu bizim esas sayımız olsun sonucu hep beraber öğreneceğiz

b = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -... bi eksi bi artı şeklinde giden bir sayı dizisi bu bizim yardımcı sayımız

c = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... bu da bizim diğer yardımcı sayımız.

şimdi işlemlere başlayalım:

1-)öncelikle şu (c) sayısını bi elimize alalım pek bi cılız göründü biz bunu çözeriz.

c = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -... = 1 - ( 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +...) şekline dönüştürelim parantezin dışına bir adet 1 çıkardık eğer işlemler yapılırsa bu işlemin sonuca bir etki etmediği gözlenecektir.
şimdi şöyle bişey çıktı ortaya:

c=1-c

2c=1

c=1/2

şimdii bu zayıf cılız c sayısını bir çırpıda hallettik gelelim (b) sayısına ona da şöyle birşey yapalım:

b = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -....
b = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -.... gördüğünüz gibi (göremiyorsunuz sanırım sözlükte birden fazla boşluğu yanlış olduğu gerekçesiyle bire düşüren bir algoritma var neyse siz kaymış gibi düşünün ) ikinci (b) sayısını bir basamak sağa kaydırdık bütün sayıları zaten ayrı ayrı topladığımızdan bu işlemimiz de sonuca bir etki etmeyecek. şimdi toplayıp bi bakalım:

b = 1 - 2 + 3 - 4 + 5-...
b = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 -....
+
---------------------------------
2b = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 -.......

vaay tanıdık geldi değilmi bu bizim cılız (c) değilmiydi e zaten biz bunun sonucunu biliyorduk hemen yapıştırıyoruz:

2b = 1 / 2

B = 1 / 4

babayiğit (b) yi de bulduk şimdi gözümüzü esas sayımıza dikiyoruz.
şu ikisini bi birbirinden çıkaralım bakalım:

a = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ...
b = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ...
-
-----------------------------
a - b = 0 + 4 + 0 + 8 + 12 + 0 + 16 +.....

hmm...

a - b = 4 ( 1 + 2 + 3 + 4 + ....)

vaay b = 1 / 4 bulmamışmıydık?

a - 1 / 4 = 4 a

3a = - 1 / 4

işte geldik o dumur eden sonuca.

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...... = - 1 / 12

what?
noluyo lan nasıl olabilir böyle bişey sonsuza kadar olan bütün pozitif tam sayıların sonucu nasıl negatif ve kesirli bir sayı çıkabilir.

tabiki bu sonucun doğru olduğunu söylemek pek mümkün değil.
sorunlu olan sonuç değil sonuç kullandığımız matematiğe göre tamamen doğru fakat matematiğimiz yanlış.
daha doğrusu matematiğin sonsuzluğa bakışı yanlış.

neyse bir gün bakışımızın düzelmesi dileğiyle iyi geceler..