öğrenildiğinde ufku iki katına çıkaran şeyler

bildiğiniz tüm sayılar aslında argand düzlemi üzerinde yer alır.
ım(z)=0 alınırsa argand düzleminde bilinen her sayı türü için yer vardır. bu şekilde düşünülünce yazılabilecek tüm karmaşık sayılar diğer sayı türlerinden çok daha fazladır.
şimdi bu çok, nasıl çok, ne kadar çok?
karmaşık sayılar dışarıda tutularak bilinen en "geniş" küme gerçel sayılar kümesi olsun. sayı doğrusu üzerinde gösterilebilinir, değil mi? hatta buna x- ekseni diyelim, 0'dan geçmek suretiyle x-eksenine dik olacak şekilde bir y-ekseni konduralım, kabaca argand diyagramı'nı elde ettik.
-koordinat düzlemi ulan bu işte? argand da ne oluyor varg yeme bizi, derseniz haklısınız. fakat teşbihte hata olmaz. argand düzlemi klasik koordinat sistemi için x yerine re, y yerine de im yazılmasıyla oluşturulur bunu noktanın birimi olarak düşünebilirsiniz aslında.-
bizim karmaşık sayılar dediğimiz sayılar bu düzlemin herhangi bir noktasına denk gelir.

yeri gelmişken biraz analizini yapalım bu efsane sayıların.
z = a + bi, standart z karmaşık sayısının gösterilişidir. burada a, re(z) = a gerçel kısımdır yukarıda bahsettiğim "gerçel" sayılardan biridir. im(z) = b de öyle, imajiner doğru üzerinde "gerçel" bir sayıdır gerçel olmasına fakat b, z karmaşık sayısındaki i'nin kat sayısıdır.

argand düzleminde bir z sayısını bileşenlerince resmetmek mümkündür; re ekseni üzerindeki a sayısı, im ekseni üzerindeki b sayısı ile (a,b) noktası elde edilir ve bu nokta sıfır noktası ile birleştirilir. elde edilen "konum vektörü" z sayısıdır.
tam da burada, *ne aşina bir arkadaş diyebilir ki, hop! ben bunu bir t açsı ve bir r uzaklığı kullanarak ifade etmek istiyorum. hay hay, ifade edelim.
burada t açısına, karmaşık sayının argümanı r uzaklığına da karmaşık sayının modülü diyeceğiz.

uzaklık dedik, değil mi? e, kutupsal koordinat sistemine de aşinayız. iki nokta arasındaki uzaklığı nasıl buluyoruz? ((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)^(1/2) şeklinde değil mi? bunu karmaşık sayının modülü için düzenlersek, unutmamamız gereken olay, karmaşık sayıların bir ayağının hep 0+0i'de olduğudur. yani başlangıç noktasında.

r = |z| = (a^2 + b^2)^(1/2)

şeklinde modülü tayin ederiz. t argümanı peki?

a,b ve r dikkatli incelendiğinde bir dik üçgen üretmezler mi argand düzlemi üzerinde? eski dostum trigonometri! t argümanı notasyonumuz gereğince, a ile r arasında değil midir?
tant = b/a => ? = tan^-1(b/a) ile bulunur.

ee iyi de, ya bunlar t ve r verir de sayıyı isterse napacağız, bulabilir miyiz?
tabii ki de.
ne dedik yukarıda? açı var ve dik üçgen var e öyleyse oradan hareketle, cost = a/r yazmak mümkündür. her iki tarafı r ile çarpıp ifadeyi daha temiz yazabiliyorken, yazalım.

rcost = a
ve
rsint = b elde edilir.

güzel de, bunu nasıl yazacağız?

z = r.cost + r.sint.i euler formülüne aşina mıyız?

-tam burada euler formüllerinden bahsetmek istiyorum belki ayrı bir başlık altında da yazılabilirdi fakat böyle yapacağım.

e üzeri x'in maclaurin serisini de mi anlatsam, o zaman sin(x)'in ve cos(x)'in maclaurin serilerini de açmam lazım. onları açmayıp kullanacağım.

p(cos(x)) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... (çift terimler)
p(sin(x)) = x - x^3/3! + x^5/5! - ... (tek terimler)

neden f(x) = e^x? e'yi bu kadar önemli kılan ne? elbette e^x'in türevinin de e^x olması.
f(x) = e^x = f'(x) = f''(x) = ... = f(n)(x) = ... yani türevi alındıkça eğri üzerinde her noktadaki eğim o noktadaki fonksiyon değerine eşit!
bu kadar e hayranlığı yeter bence, e'nin maclaurin serisi'ni ifade etmeye çalışalım biraz.

maclaurin serisi, taylor serisi'nin sıfır merkezlisidir. seriyi ve açılışını çıkartmayacağım fakat kullanıyorum yine. *

e^0 = 1 = f(0) = f'(0) = ...

e^x = 1 + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! ...
burada e'nin kendisini bulmak, x = 1 için sonuç verecektir. -en azından yaklaşılır-
bu yazılım, sin(x) ve cos(x)'in maclaurin serisini andırıyor fakat işaretleri tutmuyor.
x yerine, ix alsak? normalde bu çok saçma olurdu fakat sonsuz tane terim ve polinom açılımı için konuşuyoruz. (i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1) ne de olsa.

polinomda x gördüğümüz yere ix yazıp düzenlersek,
f(ix) = e^(ix) = 1 + ix - x^2/2! -i.x^3/3! + x^4/4! + i.x^5/5! - ... bazı terimer gerçel bazıları sanal ilerliyor. gerçel ve sanal terimleri ayırıp yazalım.

re(e^(ix)) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...
im(e^(ix)) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

ee? gerçel kısım, re(e^(ix)) = p(cos(x)) oldu! yani cos(x)'in maclaurin serisine sanal kısım da sin(x)'in maclaurin serisine eşit çıktı. sonuç olarak,

e^(ix) = cosx + i.sinx (euler formülü)
formülü bir adım öteye taşımak da mümkün. radyan kullanalım ve x'i pi'ye eşitleyelim.
e^(i.pi) = -1 ki bu da euler özdeşliği olarak ifade edilir. hatta klasik yazalım;

e^(i.pi) + 1 = 0

bu özdeşlik, beni acayip mutlu ediyor. bunun ne olduğunu bilmek aslında birbirlerinden epey uzakta, farklı zamanlarda yaşamış insanlarca keşfedilen bu sembollerin kusursuz bir özdeşlik haline gelmesi ve tüm bu süreci anlayabiliyor olmak... ayy ağlıcam galiba.-

bir adım daha gitsek r parantezine alsak ifadeyi?
z = r(cost + i.sint) bu ifadeyi, euler formülünden yararlanarak yazabiliriz şöyle ki;

z = r.e^(it)

(bkz:hiperbolik sayılar)
(bkz:dördeyler)
(bkz:yüksek-boyutlu gama matrisler)
(bkz:dalga fonksiyonu)
[bkz][clifford cebiri/bkz]